Maths
Les Nombres
Nombres naturels:
chiffres que l'on utilise pour compter les objets, comme 1, 2, 3, et ainsi de suite
Notation: ℕ
Nombres entiers:
incluent les chiffres positifs comme 1, 2, 3
mais aussi leurs opposés négatifs comme -1, -2, -3
Notation: ℤ
Nombres décimaux:
Peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule
Notation: D
Nombres rationnels:
nombre représenté par une fraction formée de 2 entiers
en valeur, produit un nombre à virgule
Notation: ℚ
Nombres irrationnels:
chiffres spéciaux qui ne peuvent pas être écrits comme des fractions simples
aka: n'ont pas de représentation en nombre rationnel
ont une suite infinie de chiffres après la virgule
ex: Pi, e, racine de 2
Notation: ℚ'
Nombre réels:
regroupent l'ensemble des différents nombres possibles
entiers, rationnels, irrationnels
Notation:
ℝ+: Ensemble des réels positifsℝ-: Ensemble des réels négatifsℝ*: Ensemble des réels sauf zéro
Ensembles:
{ } pour représenter un ensemble formé par quelques valeurs distinctes
[ ] pour représenter l'ensemble des nombres compris entre deux valeurs extrêmes
Exemple: [1, 5] pour les nombres de 1 à 5 inclus
Calcul
Calcul mental
Tables de multiplication n x 9:
Si trop compliqué faire un n x 10 - n
ex: 6 x 9 => 6 x 10 - 6 = 60 - 6 = 54
ex: 7 x 9 => 7 x 10 - 7 = 70 - 7 = 63
ex: 8 x 9 => 8 x 10 - 8 = 80 - 8 = 72
Tables de multiplication n x 12 | n x 13 | n x 14 | ...:
Décomposer en n x 10 + n x 3 ...
ex: 12 x 6 = 10 x 6 + 2 x 6 = 60 + 12 = 72
ex: 12 x 8 = 10 x 8 + 2 x 8 = 80 + 16 = 96
ex: 13 x 7 = 10 x 7 + 3 x 7 = 70 + 21 = 91
Multiplication par 25, 50, 75, 250, 500 etc:
ABC x 25 ou 50 ou 75 est égal à (ABC x 100) / (2 ou 4 ou -1/4)ex: 148 x 25 = 148 x 100 / 4 = 1480 / 4 = 370
ex: 123 x 750 = 123 x 1000 / 4 x 3 = 123 000 / 4 x 3 = 30 750 x 3 = 92 250
Simplification de nombre
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
Chaque nombre entier possède une liste de diviseur qui produisent un nombre entier (8/2, 8/4...)
Les premiers nombres premiers sont 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Ecriture scientifique
Pour représenter les grands nombres de manière simple
[1-10] x 10^nSi puissance positive: on ajoute des zéros à la fin du nombre
Si puissance négative: on ajoute des zéros au début du nombre ainsi qu'une virgule après le premier zéro
ex: 30 000 => 3 x 10^4
ex: 6 x 10^-5 => 0.00006
Pour transformer un grand nombre en écriture scientifique:
On met une virgule derrière le premier chiffre
On met en puissance le nombre de chiffre après la virgule
On enlève tous les zéros en fin de nombre
ex: 12345000 => 1,2345000 => 1,2345 x 10^7
Produit en croix
On multiplie les 2 valeurs en diagonales
On divise le tout par la 3eme valeur à côté de la 2eme
Puissance
Concepts
Nombre multiplié par lui-même n fois
2^1 = 22^0 = 1
Puissance Négative
-2^3 est différent de (-2)^3 => -2x2x2 vs (-2)x(-2)x(-2)y^-n = 1 / y^nExemple: 2^-3 = 1 / 2^3 = 1 / 8 = 0.125
Plus la puissance est négative, plus le nombre est petit (proche de zéro)
Opérations
y^(a+b) => y^a x y^by^(a-b) => y^a / y^b(y^a)^b => y^(a x b)(a x b)^y => a^y x b^y(a / b)^y => a^y / b^y
Racine
Trouve le nombre d'origine à partir d'un nombre résultat qui a été élevé au carré
y^2 = z => Racine(z) = yRacine(a x b) = Racine(a) x Racine(b)Racine(a / b) = Racine(a) / Racine(b)La racine d'un nombre au carré a toujours 2 solutions: une positive et une négative
Pour simplifier une racine:
Trouver les facteurs premiers du nombre sous la racine
Les regrouper par paire
Les sortir de la racine
ex: Racine(72) = Racine(2 x 2 x 2 x 3 x 3) = 2 x 3 x Racine(2) = 6 x Racine(2)
Pour additionner 2 racines:
Les décomposer en facteurs premiers
Calculer le résultat des racines qui donnent des nombres entiers
Mettre en facteur ces nombres sur leurs racines respectives
Additionner les facteurs pour ne conserver qu'une seule racine
Elever au carré le facteur pour le multiplier avec la racine restante
En applicant la règle de multiplication de racine on trouve le résultat final
ex: Racine(80) + Racine(20) = Racine(16 x 5) + Racine(4 x 5) = Racine(16) x Racine(5) + Racine(4) x Racine(5) = 4 x Racine(5) + 2 x Racine(5) = 6 x Racine(5) = Racine(36) x Racine(5) = Racine(36 x 5) = Racine(180)
Idendités remarquables
(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b) = a² - b²
Factorisation
Ecrire une somme de deux expr littérales sous la forme d'un produit
Chercher un facteur commun (= un nombre ou expr qui peut diviser l'ensemble des membres de l'expr)
Ecrire les quotients des termes du facteur commun
Ex: 2x + 22 => 2(x + 11)
Ex: 2x + x^2 => x(2 + x)
Ex: 3x^3 + 2x^2 => x(3x^2 + 2x)
Comment faire:
On cherche un "facteur commun" aux termes de l'expression. Cela doit être un diviseur de chaque terme. Par exemple, un facteur commun de 3x+15 est 3.
On écrit le facteur commun et on ouvre une parenthèse: 3(
On écrit les quotients des termes par le facteur commun : 3(x+5).
Le facteur commun peut aussi être une expression littérale plus complexe, par exemple 2x+1.
Dans ce cas on suit les mêmes étapes sauf qu'on ouvre un crochet
Une fois qu'on a regroupé les termes ensemble, on simplifie
Les expressions littérales ne sont pas toujours factorisables(ex: x²+2x+3)
Il est possible d'utiliser les identités remarquables pour factoriser plus vite
Equation
Définition
Jeu dont le but est de trouver la solution d'une égalité à trous
Permet de résoudre des problèmes avec des inconnues
Comment faire:
On regroupe les termes x d'un côté et les termes sans x de l'autre (le passage d'un côté à l'autre change le signe)
On réduit les termes de chaque côté de l'égalité
On divise par le coefficient de x pour trouver la valeur de x (ce coefficient ne change pas de signe lorsqu'il devient diviseur !)
Ex: 4x + 5 = 13 + 2x
4x - 2x = 13 - 52x = 8x = 4
Equation-produit
Intervient après la factorisation
Consiste à chercher les valeurs de x des 2 equations restantes une fois factorisées pour que l'expression entière soit égale à 0
Ex: (2x+4)(3x-9)=0 alors 2x+4=0 ou 3x-9=0 (car si a x b = 0 alors a=0 ou b=0)
Ex: Résolution de l'équation (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1)=0:
On commence par factoriser (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1)
On doit donc résoudre (x+4)(x-6)=0, c'est une équation-produit.
x+4=0 ou x-6=0, donc x=-4 ou x=6.Les solutions de cette équation sont -4 et 6
Équation du deuxième degré
Une équation du deuxième degré est une équation qui contient des x² en plus des x et des nombres
Pour résoudre une équation du deuxième degré :
On passe tous les termes à gauche du =, l'ensemble étant égal à 0
On factorise l'expression obtenue en utilisant un facteur commun ou une identité remarquable.
On résout l'équation-produit obtenue.
Ex: Résolution de l'équation 2x² = -3x
On passe l'ensemble à gauche de l'égalité: 2x² + 3x = 0
On factorise: x(2x+3) = 0
On résoud l'équation-produit: x = 0 ou 2x + 3 = 0
Donc x = 0 ou x = -1,5
On écrit alors S = {-1,5 ; 0}
Système d'équation
Se produit lorsqu'il y a 2 inconnues
Résoudre un système:
1) Poser les inconnues
2) Ecrire les equations correspondantes
3) Résoudre le système
Résolution par substitution:
On isole une inconnue avec une expression qui inclue l'autre inconnue
On utilise cette définition d'inconnue dans l'autre équation
On résoud alors la 2eme inconnue.
On l'utilise alors dans la première équation pour résoudre la 1ere inconnue.
Ex: 2x + y = 210 et x + 3y = 305
On isole x, ici dans l'equation: x + 3y = 305 alors x = 305 - 3y
On l'utilise dans l'autre équation: 2(305 - 3y) + y = 210
On résoud alors la 2eme inconnue:
610 - 6y + y = 210610 - 5y = 210-5y = 210 - 610-5y = -400y = -400 / -5 = 80
On l'utilise pour résoudre la 1ere inconnue dans l'équation utilisée au début:
x + 3y = 305 alors x + 3x80 = 305x + 240 = 305x = 305 - 240 donc x = 65
Résolution par combinaison linéaire:
On élève chaque équation avec le coefficient de x dans l'équation opposée
On soustrait les 2 équations
On calcule alors y
On remplace alors y par sa valeur dans une des 2 équations pour trouver x
Ex: 2x + y = 210 et x + 3y = 305
On élève au coefficient de x:
2x + y = 210 devient 1 x (2x + y = 210) donc 2x + y = 210x + 3y = 305 devient 2 x (x + 3y = 305) donc 2x + 6y = 610
On soustrait les 2 équations:
(2x + y = 210) - (2x + 6y = 610) == -5y = - 400
On calcule alors y: -5y = - 400 alors y = -400 / -5 = 80
On utilise cette valeur dans une équation pour trouver x:
x + 3y = 305 devient x + 3x80 = 305x + 240 = 305Alors x = 305 - 240 = 65
Inequation
est une équation avec un symbole <, ≤, > ou ≥ à la place du =
Il y a donc un ensemble de valeur de x qui vérifie l'inequation
Comment faire:
se résout comme une équation
à la dernière étape, si le nombre devant x est négatif (et que l'on doit donc diviser par un nombre négatif) il faut changer le sens de l'inégalité
L'ensemble des solutions est la valeur de x ainsi que + ou - l'infini en fonction du signe de l'inequation
Si l'inéquation est >= ou <= alors l'interval de réponse est fermé (= inclus) le xtrouvé, autrement il est ouvert (= non inclus)
Attention: en divisant une inéquation par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse
Inequation du 2eme degré
Inéquation dont la forme développée contient des termes en x², des termes en x et des nombres
Pour résoudre une inéquation du deuxième degré :
On passe les termes à gauche du = afin d'avoir 0 à droite.
On résoud x dans chacune des expressions de gauche.
On fait un tableau de signes (1 ligne par expression + 1 ligne pour l'ensemble)
On lit les solutions sur la dernière ligne du tableau (- par - = +, - par + = -, + par + = +)
Ex: (2x-2)(4x+16) > 0
2x - 2 > 0 alors 2x > 2, x > 2/2 donc x > 14x + 16 > 0 alors 4x > -16, x > -16/4 donc x > -4Signes pour (2x-2): de -inf à -4 c'est négatif, de -4 à 1 c'est négatif, de 1 à +inf c'est positif
Signes pour (4x+16): de -inf à -4 c'est négatif, de - 4 à 1 c'est positif, de 1 à +inf c'est positif
Signes pour l'ensemble: de -inf à -4 c'est positif, de - 4 à 1 c'est négatif, de 1 à +inf c'est positif
Résolution de problème grâce aux équations
On commence par identifier les inconnues: x= ce que l'ont cherche
On formule une équation avec x
On résout cette équation
ex: On sait que le tiers d'un nombre mystérieux est égal à la somme de son quart et de 20
donc 1/3 x = 1/4 x + 20
donc 1/3 x - 1/4 x = 20
donc 4/12 x - 3/12 x = 20
donc 1/12 x = 20
donc x = 20 x 1/12
donc x = 20 x 12/1
donc x = 20 x 12 = 240
Fonction
Concepts
Définition: f:x -> 2x + 7
Usage: f(x) = x'
x = antécédent
x' = l'image
Abscisse et Ordonnée:
Abscisse: valeur de x sur l'axe horizontal
Ordonnée: valeur de y sur l'axe vertical
Antécédent
Pour trouver l'antécédent d'un nombre par une fonction:
Soit on fait une lecture graphique
ex: on trace une droite qui horizontale qui passe à la hauteur du nombre
on regarde où cette droite coupe la courbe de la fonction
on regarde l'abscisse de ces points, ce sont les solutions
Soit on résoud l'équation
ex: f(x) = x² + 1 et on cherche l'antécédent de 10.
Il faut résoudre x² + 1 = 10
x² = 10 - 1 = 9x² = 9 donc x = 3 ou x = -3 (car une élévation d'un nombre au carré a toujours 2 solutions: une positive et une négative)
Ensemble de définition
Ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x).
Pour déterminer l'ensemble de définition:
SI la fonction contient une racine carrée ALORS:
il faut que l'expression sous la racine soit positive (notons Racine de g(x))
il faut donc résoudre l'inequation g(x) >= 0
SI la fonction contient un quotient ALORS:
il faut que le dénominateur (notons h(x)) soit différent de zéro
il faut donc résoudre l'équation h(x) = 0 (on peut trouver des ensembles incluants + et - l'infini)
Pour tous les autres cas l'ensemble est ℝ
Fonction affine
Fonction qui peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b
a est le coefficient directeur: lorsqu'on se déplace d'une unité à droite de la droite, de combien on monte ou on descendb est l'ordonnée à l'origine: valeur de l'unité lorsque la droite croise l'axe des ordonnées
Fonction carrée
f(x) = x²Sa courbe est une parabole
Son ensemble de définition est ℝ
Fonction inverse
f(x) = 1 / xSa courbe est une hyperbole
Son ensemble de définition est ℝ*
Fractions & Pourcentages
Définitions
Une fraction de quelque chose, c'est la fraction multipliée par le quelque chose.
Donc de meme, un pourcentage de quelque chose, c'est le pourcentage multiplié par le quelque chose:
(nb part / total des parts) × un nombre3/12 d'une tarte avec 24 parts = 0,25 (3/12 == 1/4) x 24 = 6 parts35% de 50 = 0,35 x 50 = 17,5
Calculs
Pour calculer la valeur en pourcentage:
(effectif / effectif total) x 10017 élèves sur 50 portent des lunettes: (17/50) x 100 = 34
Pour passer de % en valeur:
un nombre / 100 X un autre nombreex: 66% de 50 = 66 / 100 X 50 => 33
mais aussi: 66% de 50 == 50% de 66 car 50 / 100 x 66 == 66 / 100 x 50 !
donc c'est parfois plus simple !
Pour simplifier une fraction il faut trouver le plus grand nombre entier diviseur commun au numérateur et dénominateur:
Décomposer le numérateur et le dénominateur chacun en un produit de nombres premiers
Annuler les nombres premiers communs au numérateur et au dénominateur et utiliser les nombres restants pour la fraction finale
75/105:
75 = 5 x 5 x 3 => 5 et 3 sont communs au dénominateur donc j'enlève105 = 5 x 7 x 3 => 5 et 3 sont communs au numérateur donc j'enlèveRésultat: 5/7
Les nombres premiers sont les nombres qui ne figurent pas dans les résultats des tables de multiplication
Les premiers nombres premiers sont 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Division:
Le quotient est la multiplication de la première fraction par la 2eme fraction mais inversée
2/3 ÷ 4/5 => 2/3 x 5/4 = 10/12
Soit x le nombre: x = 0.372372372...
Le motif est composé de 3 chiffres, donc je multiplie par 1000: 1000x = 372.372372...
372.372372... est équivalent de 372 + 0.372372...Donc 1000x = 372 + x
Donc si je regroupe les x j'obtiens: 1000x - x = 372
Donc 999x = 372
Alors x = 372 / 999
Statistiques
Sur liste de nombre rangé par ordre croissant
Valeur dans la liste qui coupe cette liste en 2 avec autant de valeurs à gauche qu'à droite
Cela aide à comprendre quelle est la valeur "typique" sans être affecté par des valeurs très hautes ou très basses.
Si le nombre de valeur est impair alors médiane = (nb+1) / 2
Si le nombre de valeur est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales
Ex 1: 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7 => Nb pair => N/2 = valeur en position 5 et valeur en position 6 => médiane = moyenne(3, 5) = 4Ex 2: 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 8 => Nb impair => (11+1) / 2 = valeur en position 6 => 5
Fréquence
nb de fois où une valeur apparait dans la liste divisé par nb de valeurs
Probabilités
Concepts
Expérience : phénomènes pour lesquels la réalisation de différentes possibilités dépend du hasard.Issue : = les différentes possibilitésProbabilité d'issue :
Associe un nombre compris entre 0 et 1 à chaque issue afin de pouvoir comparer les chances des issues et effectuer des calculs
Si l'expérience aléatoire se produit une seule fois: Proba = 1 / n avec n le nombre total d'issues possibles
Si l'expérience aléatoire se produit plusieurs fois :
Les issues sont des combinaisons formées chacune par la succession des issues de chaque réalisation, appelée épreuve.
Le nombre d'issues total correspond au nombre de feuilles à la fin de la combinaison.
Ex: SI l'expérience possède 2 issues et se produit 2 fois de suite ALORS le nombre total d'issues est de 2 x 2 = 4
Ex:
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie.
Quelle est la probabilité d'obtenir exactement trois fois pile ?
Nombre d'issue par lancé: 2
Nombre de lancés: 3
Nombre d'issues total: 2^3 = 8
Nombre d'issues donnant trois fois pile: 1 / 8
Ex:
On lance quatre fois de suite une pièce de monnaie.
Quelle est la probabilité d'obtenir une fois pile? (ATTENTION: 1 et 1 seule fois pile, et non pas 'au moins 1 fois pile')
Nombre d'issue par lancé: 2
Nombre de lancés: 4
Nombre d'issues total: 2^4 = 16
Proba d'une issue donnant une (seule) fois pile sur l'ensemble des issues: 1 / 16
Proba donnant une (seule) fois pile sur les 4 lancés: 4 x (1 / 16) = 4 / 16 = 2 / 8 = 1 / 4
Ex:
On lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois pile?
Nombre d'issue par lancé: 2
Nombre de lancés: 2
Nombre d'issues total (aka Nombre de cas possibles): 2^2 = 4
Calcul du nombre de cas favorables:
Lancé 1: Pile, Pile => donc 1 seul cas favorable
Lancé 2: Pile, Face
Lancé 3: Face, Pile
Lancé 4: Face, Face
Calcul de la probabilité obtenir deux fois pile: 1 / 4
Evénement : ensemble formé d'une ou plusieurs issues relatives à une même expérience aléatoire
événement certain : proba de 1événement impossible : proba de 0événement contraire de A : contient toutes les issues que A ne contient pas (= toutes les autres possibilités) événement incompatible : = n'ont pas d'issue en commun
Probabilité d'événement :
Somme des probabilités des issues qui le compose
Ex:
Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces
Événement E : "Obtenir un nombre strictement plus petit que 3"
proba issue "obtenir 6": 1/6
proba événement E: correspond aux issues 1 et 2 donc 1/6 + 1/6 = 2/6
Probabilité d'une union :
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A inter B)
