a est un nombre réel, appelé coefficient, c'est une constante.
n un nombre entier appelé degré, c'est une constante.
x est appelé la variable, elle peut prendre différentes valeurs, varier donc.
Parfois vous trouverez le terme indéterminée au lieu de variable, pour exprimer que l'essentiel d'un polynôme se trouve dans ses coefficients et le rang qu'ils occupent.
Ex: 2x^6, -3x², x
Polynôme:
Est une somme de monômes
P(x) = monome1 + monome2 + …
Tous les degrés ne sont pas forcément présents (ex: 4 => 1 x 4^1)
x^1 = x
x^0 = 1
Degré d'un polynôme:
Le degré d'un monôme correspond à la puissance à laquelle la variable est élevée
Le degré d'un polynôme est égal à celui de son monôme de degré le plus grand.
= Le degré d'un polynôme est égal à la puissance la plus grande de x
Vocabulaires:
Appeler un polynôme:
Un polynôme de degré un est aussi un polynôme du premier degré.
S'appellera aussi binôme de degré 1 (ou du premier degré)
Un polynôme de degré deux est aussi un polynôme du second degré
S'appellera aussi trinôme de degré 2 (ou du second degré)
Etc…
Polynôme ordonné:
Pour que la lecture d'un polynôme soit plus simple, on range les monômes qui le compose dans l'ordre des puissances.
Polynôme réduit:
On dit qu'un polynôme est réduit quand il n'y a qu'un seul monôme pour chaque degré
Polynôme développé:
On dit qu'un polynôme est développé quand plus aucune opération ne peut être effectuée dans le polynôme
Nous constatons que, même si ça peut sembler paradoxal, un polynôme peut être à la fois réduit et développé.
Polynôme factorisé:
Certains polynômes se présentent sous la forme d'un produit de facteurs
Tous les termes sont multipliés, on dit alors que le polynôme est sous la forme factorisée.
Importance du coefficient du monôme de plus haut degré dans le polynôme:
le coefficient du monôme de plus haut degré (celui qui donne son degré au polynôme) est le coef dominant
doit impérativement être non nul
Annulation polynôme:
La valeur de l'inconnue x telle que l'équation P(x)=0 soit vérifiée s'appelle la racine du polynôme P(x)
Pour les polynômes du premier degré, il faut savoir résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
Pour les polynômes du second degré, il faut savoir résoudre une équation du second degré à une inconnue.
Egalité de polynôme:
Deux polynômes sont égaux si les coefficients des monômes de même degré sont égaux.
Signe d'un polynôme:
Etudier le signe d'une expression, c'est trouver dans quels cas elle est positive, négative ou nulle.
Un algorithme est appelé pseudo-polynomial si sa complexité en temps est un polynôme en la valeur numérique de l'entrée
Rappel formes polynôme: P(x) = ax2 + bx + c etc…
Donc en compléxité: C(x) = complexité_calcul1(x) + complexité_calcul2(x) etc…
En théorie de la complexité, la complexité d'un algorithme est calculé en fonction de la longueur de l'entrée (et non pas de sa valeur), et cette longueur est généralement logarithmique en la valeur.
Ainsi, l’algorithme naïf de test de primalité est pseudo-polynomial, tout en étant en temps exponentiel
L'addition de deux nombres à neuf chiffres décimaux nécessite environ neuf étapes, cet algorithme est réellement polynomial en la longueur de l'entrée.